... νm. ˆ θ (µ ) (ˆ e (ν ) ) = δ ν µ

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1 I matematici hanno sviluppato l Analisi in spazi Euclidei R n. Ed e in spazi Euclidei R n che sappiamo differenziare, integrare etc. Sappiamo anche che esistono spazi curvi non Euclidei (la sfera per esempio) in cui vogliamo estendere queste operazioni. Il concetto di varieta affronta questo tipo di problema. Una varieta e uno spazio che puo essere curvo ma che, localmente, appare come R n. La varieta viene costruita congiungunendo diverse regioni che sono tutte, localmente, R n con dimensione n. Per fare cio si introduce il concetto di mappa o sistema di coordinate come un applicazione φ :U R n ; U M dove U e un aperto appartenente alla varieta M U M φ φ(u) R n Puo accadere che la varieta non possa essere ricoperta da un singolo sistema di coordinate. In questo caso dovremo costruire un atlante ovvero un sistema di mappe che si congiungono le une alle altre in modo continuo. Spesso pero e piu conveniente utilizzare un singolo sistema di coordinate trattando separatamente i punti che non sono stati inclusi nella mappatura. Se la congiunzione tra le mappe e infinitamente differenziabile allora la varieta e detta smooth.

2 Le proprieta di una varieta (e.g. la curvatura) devono essere definite intrinsecamente alla varieta stessa, ovvero senza immergerla in una varieta a dimensione superiore. Ad esempio, per definire in ogni punto un campo vettoriale ed il suo spazio tangente non si puo dire: Prendiamo tutte le curve passanti per p M ovvero tutte le mappe γ : R M, p M e considerariamo lo spazio dei vettori tangenti (?) alle curve. Una procedura possibile sarebbe quella, una volta stabilito un sistema di coordinate in M considerare tutte le curve x µ (λ) passanti per p, definire la derivata lungo la curva: dx µ (λ)/dλ che risulta essere un elemento di R n (n numeri reali) e verificare che si tratta di un vettore appartenente allo spazio tangente alla varieta in p. Questa procedura, corretta, ha pero il difetto di essere dipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Possiamo invece considerare l insieme di tutte le funzioni C f : M R e, per ogni curva passante per p, definire l operatore derivata direzionale df /dλ. Lo spazio tangente in p puo allora essere identificato con lo spazio delle derivate direzionali lungo tutte le curve passanti da p.

3 E possibile dimostrare che quello cosi definito definito e effettivamente uno spazio vettoriale (le derivate direzionali sono vettori in quanto linermente componibili) e che si tratta proprio di uno spazio tangente alla varieta. Questo spazio necessita di un sistema di basi. Un set di basi che puo essere ereditato in maniera naturale dalle coordinate della varieta sono le cosiddette basi coordinate che per lo spazio tangente in questione si identificano con le derivate parziali. In questo modo le derivate direzionali (vettori) possono essere espresse, nella notazione degli indici, come d dλ = dx µ dλ µ Queste basi e ˆ (µ ) µ, dette basi coordinate, non sono uniche, ne normalizzate, ne ortogonali. Tuttavia sono piuttosto comode poiche permettono di quantificare in maniera naturale l effetto del cambio di coordinate.

4 E facile esprimere come variano le basi coordinate sotto trasformazione di coordinate µ µ' µ' = x µ x µ' µ e, da queste, esplicitare come si trasformano le componenti di un generico vettore V µ V µ µ = V µ' µ' V µ' = x µ' x µ V µ Avendo definito in ogni punto uno spazio vettoriale tangente e ora possibile definire uno spazio cotangente di vettori duali (si puo fare il viceversa!). Anche in questo caso e possibile definire un set di basi coordinate, naturali che risultano essere i gradienti delle funzioni coordinate: dx µ. Anche in questo caso Sappiamo quantificare l effetto del cambio di coordinate: In uno spazio piatto ˆ θ (µ ) (ˆ e (ν ) ) = δ ν µ µ µ' dx µ' = x µ' x µ dx µ w µ' = x µ x µ' w µ Attraverso la definizione di spazi vettoriali tangenti e cotangenti e possibile costruire oggetti di rango superiore: i tensori. Le regole di trasformazione per cambio di coordinate saranno immediatamente deducibili dalle analoghe regole per vettori e vettori duali. Anche per i tensori potremo definire delle basi coordinate che risultano dal prodotto Cartesiano delle basi negli spazi tangenti (derivate parziali) e cotangenti (gradienti di funzioni) ν1... νm dx µ1... dx µn

5 Le proprieta geometriche dello spazio-tempo sono specificate dal tensore metrico g µν che e un tensore (0,2) simmetrico e non-degenere, ovvero a determinante g= g µν 0. Possiamo definire il suo inverso g µν g νσ = g λσ g λµ =δ σ µ, pure simmetrico. In uno spazio di Minkowski il tensore metrico e η µν. Il tensore metrico riveste un importanza fondamentale. Negli spazi curvi viene utilizzato in molti modi differenti. Tra cui segnaliamo I seguenti: 1. La metrica peremette di definire i concetti di passato e futuro 2. La metrica permette di calcolare la separazione tra due eventi nello spazio tempo ed il tempo proprio 3. La metrica permette di definire la minima distanza tra 2 punti ed il moto delle particielle di test 4. Il concetto di metrica sostituisce quello di campo gravitazionale 5. La metrica permette di introdurre la nozione di sistemi localmente inerziali 6. La metrica determina la causalita attraverso la velocita della luce 7. La metrica permette di generalizzazare il concetto di prodotto scalare Il concetto di tensore metrico e a tutti gli effetti equivalente a quello di metrica o di prodotto scalare: ds 2 = g µν dx µ dx ν

6 Anche se l espressione della metrica, o dell elemento di linea, varia al variare delle coordinate,le proprieta intrinseche della varieta devono rimanere inalterate. Consideriamo per esempio l elemento di linea in uno spazio Euclideo. La sua espressione dipende dalle coordinate: Coord. Cartesiane x = rsinϑ cosϕ Coord. Sferiche ds 2 = (dx) 2 +(dy) 2 +(dz) 2 y = rsinϑ sinϕ ds 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 (ϑ)dϕ 2 z = rcosϑ tuttavia l intrvallo stesso, ds 2, non deve variare. Le stesse considerazioni valgono per il tensore metrico in varieta piu generiche. Si noti che: - Il fatto che i coefficienti del tensore metrico dipendano dalle coordinate NON - IMPLICA che la varieta sia piatta. - Se per qualche scelta di coordinate i coefficienti sono costanti ALLORA metrica e piatta. Tuttavia, nella pratica ptremmo non essere in grado di trovare un set di coordinate in cui le componenti sono costanti!

7 Di fronte a questa difficolta vorremmo: (1) una caratterizzazione precisa della metrica (2) Un criterio o uno strumento in grado di rivelare la presenza di una curvatura. Concentriamoci per ora sul punto (1) In ogni punto dello spazio-tempo (localmente piatto) il tensore metrico puo sempre essere espresso nella sua forma canonica in cui le componenti, solo diagonali, sono g µν = diag( 1,..., 1,+1,...,+1,0,...,0) Si definisce segnatura (firma) della metrica il numero di elementi positivi, negativi o nulli presenti nella sua forma canonica. - Se un qualche autovalore e nullo allora la metrica e detta degenere. - Se la metrica e continua e non degenere la segnatura e la stessa in tutti i punti. - Se tutti gli elementi sono positivi allora la metrica e detta Euclidea o Riemanniana. - Se c e un solo elemento col segno meno allora la metrica e detta Pseudo Riemanniana o Lorentziana. - negli altri casi la metrica e detta indefinita. - E sempre possibile esprimere la metrica in forma canonica in un punto P della varieta. Ma, in generale, non in un intorno di P.

8 Anzitutto dovremo generalizzare il concetto di derivata. L usuale definizione di derivata parziale, infatti, dipende dalla scelta del sistema di riferimento mentre noi vogliamo che equazioni di conservazione come µ T µν = 0 siano valide sempre. Per fare cio si introduce il concetto di derivata covariante ovvero di un operatore che si riduce all usuale derivata parziale in spazi piatti ma si trasforma come un tensore in spazi piu generali. In uno spazio piatto la derivata parziale e una mappa tra lo spazio dei tensori (k,l) in uno spazio tensoriale (k,l+1). Vogliamo che anche la derivata covariante abbia queste proprieta : (1) che sia lineare negli argomenti (2) che segua la regola del prodotto di Leibnitz (3) che commuti con le contrazioni e che (4) si riduca alla derivata parziale per gli scalari 1) (T + S) = T + S 2) (T S) = T S + T S 3) µ (T λ λρ ) = ( T) µ λ λρ 4) µ φ = µ φ

9 L idea per definire la derivata covariante e di prendere la derivata parziale e applicare una correzione per far si che il risultato sia covariante. P.es. prendiamo un vettore V ν. Per ogni direzione µ la derivata covariante sara data dalla derivata parziale piu una correzione specificata da un set di n matrici (Γ µ ) π σ (una matrice nxn per ogni direzione µ specificata, con n=dimensione). Queste matrici vengono chiamate coefficienti di connessione affine Γ π µσ. Quindi µ V ν = µ V ν + Γ ν µλv λ Per trovare le prorieta di trasformazione dei coefficienti d connessione affine si richiede che il termine a sinistra si trasformi come un tensore. Attraverso questo procedimento si evidenzia come questi coefficienti non siano dei tensori. Possiamo fare lo stesso esercizio considerando i vettori duali. I coefficienti di connessione affine diventano, in questo caso: µ w ν = µ w ν Γ λ µν w λ Generalizzando ulteriormente ariviamo ai tensori per i quali per ogni indice in alto dovremo introdurre un termine +Γ e uno +Γ per ogni indice in basso

10 In una varieta si possono definire molti tipi di connessioni. Ad ognuna delle quali corrisponde una diversa derivata covariante. In RG si sceglie una connessione particolare che obbedisce a 2 vicoli: (1) non ammette torsioni (2) e compatibile con la metrica 1) Γ λ µν = Γ νµ λ 2) ρ g µν = 0 ρ g µν = 0 I coefficienti di connessione cosi definiti sono unici e vengono detti simboli di Christoffel. Come e facile intuire, la loro espressione esplicita e completamente specificata dal tensore metrico: Γ σ µν = 1 2 gρσ ( µ g νρ + ν g ρµ ρ g ) µν I simboli di Christoffel dipendono dalla scelta di coordinate. P. es. in uno spazio piatto sono nulli in coordinate Cartesiane ma diversi da zero in coordinate polari. Viceversa in un qualsiasi punto di uno spazio tempo, anche curvo, e sempre possibile mandare a zero i simboli di Christoffel. Ma non e possibile farlo in tutti i punti con un unica scelta di coordinate. Infine otteniamo l espressione della divergenza µ V µ = µ V µ + Γ µ µλv λ = 1 g µ( g V µ )

11 Definita la derivata covariante sappiamo quantificare quanto velocemente un oggetto sta cambiando. La domanda e cambiando rispetto a cosa? Una funzione definisce un numero in ogni punto dello spazio tempo e non e sorprendente che, per confronatre due numeri, sia sufficiente utilizzare la derivata parziale. Ma un tensore? E una mappa da vettori a numeri reali e non e chiaro come confrontare mappe in punti diversi dello spazio tempo. La derivata covariante permette in effetti di misurare il tasso di variazione di un tensore confrontandolo con cio che il tensore sarebbe se fosse stato trasportato in modo parallelo in un altro punto dello spazio tempo. Detto in altri termini la connessione permette di confrontare tensori vicini. Il concetto di trasporto parallelo e interessante per se. In uno spazio piatto il trasporto e sempre parallelo visto che i vettori rimangono costanti comunque li si trasporti da un punto ad un altro. Al contrario, in uno spazio curvo il risultato del trasporto parallelo dipende dal cammino scelto In presenza di una curvatura il risultato del trasporto parallelo tra due eventi dipende dal cammino fatto. Non esiste un cammino preferenziale!

12 Il problema della non unicita del trasporto parallelo e intrinseco alla natura della varieta e non puo essere evitato. Significa semplicemente che p. es. 2 vettori possono essere confrontati in modo naturale solo se appartengono allo stesso spazio tangente. Conseguenza: il redshift cosmologico non puo essere confuso con l effetto Doppler. Conviene comunque formalizzare il concetto di trasporto parallelo di un tensore T lungo una curva x µ (λ). In RS richiediamo che le componenti di T non cambino: d dλ T µ1..µk ν1...νl = dx µ dλ x T µ1..µk µ ν1...νl = 0 In uno spazio curvo rimpiazziamo la derivata parziale con una covariante e definiamo la derivata direzionale covariante D dλ = dx µ dλ µ Possiamo allora definire trasporto parallelo del tensore T lungo x µ (λ) la richiesta che la derivata direzionale covariante lungo quel cammino si annulli. D dλ T µ1..µk ν1...νl = dx µ dλ λ T µ1..µk ν1...νl = 0

13 Per un vettore la richiesta di trasposrto parallelo o equazione del trasporto parallelo e d dλ V dx σ µ + Γ µ σρ dλ V ρ = 0 E un equazione differenziale del primo ordine che definisce un problema alle condizioni iniziali: preso un tensore in un punto lungo il cammino c e una unica continuazione del tensore lungo il cammino che soddisfa l equazione. Diremo che questo tensore e trasportato in modo parallelo. L equazione del trasporto parallelo dipende ovviamente dalla connnessione. Diverse connessioni definiscono diversi cammini lungo I quali un vettore puo essere trasprtato parallelamente a se stesso. Se la connessione e compatibile con la metrica allora il tensore metrico e sempre trasportato parallelamente: D dλ g µν = dxσ dλ σ g µν = 0 E grazie a cio il prodotto in terno, e con esso la norma ed il concetto di ortogonalita, vengono preservati dal trasporto parallelo

14 Dal concetto di trasporto parallelo e possibile definire, operativamente, una geodetica. La geodetica generalizza il concetto di linea retta in uno spazio piatto; (1) la retta e la linea piu corta che connette due punti, (2) e anche il cammino in cui si trasporta in modo parallelo il vettore tangente al cammino stesso. In uno spazio curvo i concetti coincidono se e solo se la connessione e quella di Christoffel Consideriamo la definizione (2). Prediamo la curva x µ (λ) ed il vettore tangente al cammino dx µ (λ)/λ. La condizione di trasporto parallelo e data da 0 = D dx µ dλ dλ d 2 x µ dλ 2 + Γ µ σρ dx ρ dλ dx σ dλ = 0 Detta Equazione delle Geodetiche. Consente di definire la separazione minima tra due eventi nello spazio-tempo. In uno spazio Euclideo possiamo scegliere coordainate Cartesiane. In questo caso I simboli di Christoffel sono nulli e ritroviamo l equazione di una retta d 2 x/dλ 2 =0. Si puo dimostrare (p. es. attraverso tecniche variazionali) estremizzando l espressione di un cammino nello spazio tempo, che la geodetica rappresenta la minima separazione tra due eventi nello spazio tempo.

15 La geodetica rappresenta la traiettoria seguita da una particella di test non accelerata Per particella di test intendiamo un corpo che non influezi la geometria dello spaziotempo in cui si muove. L eq. delle geodetiche rappresenta quindi la generalizzazione della seconda equazione di Newton F=ma per il caso a=0. La presenza di forze non gravitazionali si traduce nell aggiunta di un termine nel membro a destra. Nel caso della forza di Lorentz, per esempio, abbiamo: d 2 x µ dx ρ dx σ Nel membro a destra compare il tensore + Γ µ del campo elettromagnetico. dλ 2 σρ dλ dλ = q m F µ dx ν ν dλ La scelta della parametrizzazione λ della geodetica non e arbitraria. La richiesta che il vettore tangente sia trasportato parallelamente alla curva pone un vincolo alla parametrizzazione della curva stessa. Se consideriamo per esempio una traiettoria di tipo tempo di una particella massiva per cui il tempo proprio τ rappresenta una parametrizzazione naturale, allora il parametro affine λ=aτ+b rappresenta una parametrizzazione altrettanto valida. La scelta di una parametrizzazione qualsiasi α e ammessa, ma in quel caso l equazione delle geodetiche va modificata introducendo un termine ulteriore f(α) d 2 x µ dα + dx ρ dx σ µ dx 2 Γµ σρ = f (α) dα dα dα ; f (α) = d 2 α dα 2 Viceversa se l eq. precedente e valida lungo una curva allora e possibile dλ 2 dλ trovare un parametro affine per cui l eq. delle geodetiche e soddisfatta

16 Per traiettorie di tipo tempo e possibile riscrivere l equazione delle geodetiche in termini del quadrivettore velocita (o momento) d 2 x µ dτ + dx ρ dx σ 2 Γµ σρ dτ dτ = U λ λ U µ = p λ λ p µ = 0 In questo caso l equazione suggerisce che particelle in caduta libera seguano la direzione indicata dai loro momenti p µ. Per traiettorie di tipo tempo la parametrizzazione naturale e quella in termini del tempo proprio τ. Per traiettorie di tipo spazio e la separazione s. Per traiettorie di tipo luce non c e una parametrizzazione naturale. In questo caso e spesso conveniente normalizzare il parametro in modo che la tangente lungo la traiettoria sia uguale al quadrimomento: dx µ /dλ=p µ. Si noti la differenza con le traiettorie di tipo tempo in cui la definizione precedente e quella del quadrimomento per unita di massa. Pertanto l energia della particella misurata da un osservatore con quadrivelocita U µ e E=-p µ U µ indipendentemente dal fatto che p µ sia di tipo spazio o di tipo tempo. Questo e conseguenza del fatto che in una metrica Lorenzianail trasporto parallelo preserva il prodotto scalare.

17 Per definire la curvatura partiamo da una situazione di piattezza. Questa si manifesta in vari modi. (1) il trasporto parallelo di un vettore lungo un circuito lascia il vettore inalterato. (2) le derivate covarianti di un tensore commutano (3) geodetiche inizialmente parallele rimangono parallele. Il tensore di Riemann descrive come queste proprieta variano in uno spazio curvo. Abbiamo visto come, sulla superficie di una sfera, il trasporto parallelo di un vettore lungo un circuito chiuso modifichi il vettore e di come cio sia espressione del fatto che la varieta e curva. Potremmo utilizzare lo stesso criterio per rivelare localmente l esistenza della curvatura. Potremmo quindi considerare il trasporto parallelo di oggetti lungo loop infinitesimi. Immaginiamo di trasportare un vettore V µ lungo A µ e B ν B ν A µ A µ B ν E poi indietro lungo A µ e B ν. L azione del trasporto parallelo e indipendente dalle coordinate, quindi deve essere descrivibile da un tensore. Dovra dare una trasformazione lineare del vettore, quindi avra un indice in alto ed uno in basso. Inoltre dipendera da A µ e B ν quindi avra altri 2 indici inferiori su cui contrarre µ e ν. Infine sara antisimmetrico in questi 2 indici poche scambiando gli indici si inverte il verso di percorrenza. In quel caso dobbiamo ottenere il risultato inverso.

18 Compiuto il loop, ci aspettiamo quindi che il vettore sia variato di una quantita δv ρ = R ρ σµνv σ A µ B ν R ρ σµν = R ρ σνµ Dove R ρ σµν rappresenta il tensore di Riemann e la relazione a destra indica che e antisimmetrico negli ultimi due indici. L espressione esplicita del tensore di Riemann puo essere ottenuta eseguendo il trasporto parallelo di un vettore. Si trova che essa dipende dai coefficienti di connessione affine. L espressione completa e : R ρ σµν = µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γ λ νσ Γ ρ λ νλ Γ µσ Si noti che il tensore e espresso in termini di coefficienti di connessione, non di simboli di Christoffel. Ovvero e ben definito anche in metriche non compatibili o con torsione. In RG, i coefficienti di connessione sono derivati direttamente dalla metrica. Quindi, in questo caso, anche il tensore di Riemann e la curvatura dipenderanno dalla metrica. In questo caso si puo dimostrare che: 1. In un sistema di coordinate in cui le componenti della metrica sono costanti il tensore di Riemann si annulla. 2. Se il tensore di Riemann si annulla allora possiamo sempre costruire una metrica le cui componenti sono costanti

19 Quello di Riemann e un tensore ad n 4 componenti. Grazie alle sue varie proprieta di simmetria, pero, quelle indipendenti sono assai di meno. Anzitutto abbiamo visto che e antisimmetrico negli ultimi 2 indici. Quindi ci sono solo n(n-1)/2 indici permessi tra gli n 2 possibili. Se poi consideriamo una metrica compatibile notiamo che il tensore con indici in basso R ρσµν =g ρλ R λ σµν e (1) anti simmetrico nei primi 2 indici (2) invariante per scambio tra la prima coppia di indici e la seconda e (3) la somma delle permutazioni cicliche sugli ultimi 3 indici e zero. Considereando tutte queste simmetrie il numero di coefficienti indipendenti e (1/12)n 2 (n 2-1) Dal tensore di Riemann, contraendo gli indici formiamo il tensore di Ricci R µν = R λ µλν R µν = R νµ Dove la seconda simmetria e valida per metriche compatibili. La traccia del tensore di Ricci e detta scalare di Ricci R = R µ µ = g µν R µν Tensore e scalare di Ricci contengono tutte le informazioni realtive alle tracce del tensore di Riemann. Il tensore di Weil contiene quelle relative alla parte traceless. Infine definiamo il tensore di Einstein di grande importanza in RG G µν = R µν 1 2 Rg µν ; µ G µν = 0

20 In generale la metrica di un sistema puo essere estremamente complicata. Fortunatamente in molti casi sono presenti delle simmetrie nella metrica (isometrie) che sono identificabili come spostamenti infinitesimi che non modificano la distanza relativa tra i punti (p. es di un oggetto). L esistenza di isometrie puo essere ovvia. Ad esempio per uno spazio di Minkowski le traslazioni sono isometrie. Altre, meno ovvie, sono le trasformazioni di Lorentz. Il fatto che la metrica sia indipendente dalle traslazioni e ovvio (i coefficienti di η µν sono indipendenti dalle coordinate). In effetti quando accade che i coefficienti di una metrica siano indipendenti da una certa coordinata esiste una simmetria per traslazione lungo quella coordinata σ g µν = 0 x σ x σ + a σ e' una simmetria L isometria quantifica il fatto che una metrica possa rimanere invariata quando i punti dello spazio-tempo vengono spostati di una quantita infinitesima. Questi spostamenti identificano un vettore, o un campo vettoriale, detto campo vettoriale di Killing Quando i punti dello spazio tempo vengono spostati seguendo un campo di Killing lo fanno definendo un flusso senza compressioni o rarefazioni.

21 Poiche alle simmetrie corrispondono leggi di conservazione, la presenza di isometrie implica che esistano delle quantita conservate. Ad esempio l invarianza per traslazione ha una conseguenza diretta sul moto delle particelle descritto dall equazione delle geodetiche descritto come p λ λ p µ = 0. Espandendo l espressione della derivata covariante e tenendo conto della simmetria di p µ p λ si ottiene che m dp µ dτ = 1 2 ( µ g νλ )pλ p ν pertanto se i coefficienti della metrica sono indipendenti dalla coordinata x σ l isometria implica la conservazione delle componenti del momento p σ σ g µν = 0 dp σ dτ = 0 Che e valida per tutte i tipi di geodetiche (non solo quelle di tipo tempo).

22 Non sempre vale il viceversa, ovvero che la presenza di conservazioni implica l indipendenza da una qualche coordinata. Ad esempio in RS ci sono 4 traslazioni + 6 trasformazioni di Lorentz che sono maggiore del numero di dimensioni, ovvero di coordinate da cui la metrica puo essere indipendente. La ricerca di isometrie deve avvenire con criteri piu generali ovvero attraverso la ricerca dei vettori di Killing. Consideriamo la coordinata x σ lungo cui la metrica e indipendente e definiamo il vettore K µ = ( che genera l isometria. In questo caso p σ =K ν p ν σ ) µ µ = δ σ e la costanza di questa quantita lungo il cammino e equivalente alla sua costanza lungo la geodetica: dp σ dτ = 0 p µ µ (K ν p ν ) = 0 Espandendo l espressione a destra e tenendo conto della simmetria di p µ p λ si ottiene l equazione di Killing µ K ν K µ = (µ K ν ) = 0 p µ µ (K ν p ν ) = 0 I vettori che soddisfano a questa equazione, detti vettori di Killing, individuano la direzione della simmetria ovvero implicano che K ν p ν e conservata lungo le geodetiche